Devoir Maison - Suites numériques
Exercice 1
Résoudre les inéquations suivantes :
1
\((x^2 + 2 x - 2)(3 x + 6) \geq 0\)
2
\(\frac{3 x + 1}{4 - x}\leq 0\)
Exercice 2
Etudier les variations de la fonction \(f (x) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 3 x -3\)
Exercice 3
On considère une feuille de papier avec une grande longueur de 30 cm. L'épaisseur de la feuille est de 110 micromètres (1000µm = 1mm).
On réalise une expérience : nous allons plier en deux la feuille jusqu'à ce que ça ne soit plus possible. À chaque pliage on a une feuille plus petite, avec une grande longueur divisée par deux.
On réalise une expérience : nous allons plier en deux la feuille jusqu'à ce que ça ne soit plus possible. À chaque pliage on a une feuille plus petite, avec une grande longueur divisée par deux.
1
On note \((u_n)\) la suite des longueurs obtenues à chaque pliage.
a
Quel est le type de cette suite \((u_n)\) ?
b
Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\)
.c
Calculer les premières valeurs \((u_0, u_1, u_2, u_3)\).
2
On note \((v_n)\) la suite des épaisseurs obtenues à chaque pliage.
a
Quel est le type de cette suite ?
b
Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\)
c
Calculer les première valeurs \((v_0, v_1, v_2, v_3)\).
3
Trouver le premier N pour lequel \(u_N \lt v_N\) (faites attention aux unités !)
4
Quand la longueur de la feuille devient plus petite que l'épaisseur, il devient impossible de la plier. Est-il possible de plier cette feuille plus de 8 fois ?
Exercice 4
Dans une réserve africaine les observateurs en place ont constaté que la population d’animaux d’une espèce donnée est en baisse de 10% tous les ans depuis plusieurs années. Actuellement, en 2014, cette population a été évaluée à 500 animaux.
On fait l’hypothèse que cette tendance va se poursuivre dans les années à venir.
On s'intéresse à l’évolution de la population d'animaux à partir de 2014. La situation peut être modélisée par une suite \((u_n)\), le terme un donnant une estimation du nombre d’animaux dans la réserve l’année \(2014 + n\).
1
Calculer \(u_1\)
2
On cherche à étudier la suite \(u_n\) :
a
Justifier que la suite \(u_n\) est une suite géométrique. Déterminer sa raison et son premier terme.
b
Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\)
c
Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\)
3
On considère l'algorithme ci-dessous :
Variables : P un réel, N un entier
Traitement : Affecter à N la valeur 0
Affecter à P la valeur ......
Tant que P > .....
Affecter à P la valeur P * ........
Affecter à N la valeur .......
Fin Tant que
Afficher N
L'algorithme est supposé afficher la valeur du premier \(n\) tel que le nombre d'individus \(u_n\)
est inférieur à 10.
Affecter à P la valeur ......
Tant que P > .....
Affecter à P la valeur P * ........
Affecter à N la valeur .......
Fin Tant que
Afficher N
a
Que représentent les variables P et N ?
b
Compléter l'algorithme pour qu'il effectue correctement cette tâche
c
A partir de quelle année, la population d'animaux risque-t-elle de descendre sous les 10 individus ?
4
On considère la population éteinte si le nombre d'individus est inférieur à 1.
a
Modifier l'algorithme pour qu'il prédise l'année de l'extinction.
b
Quelle est cette année ?